微积分学示例

$2 y e^{y^{2}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y e^{y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = e^{y^{2}}$ 。

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2}$ 。

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $e^{y^{2}}$ 的左侧。

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 10

将 $e^{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

解题步骤 11.4

将 $4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ 中的因式重新排序。

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

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