微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} + \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{2} x d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{2}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{7}$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2}{7} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

解题步骤 8.2

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.6

将 $\frac{1}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.7

将 $\frac{2}{7}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{7 \cdot 4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.8

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.9

约去 $2$ 和 $28$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.9.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 8.4.9.2.1

从 $28$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.13

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.14

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.15

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.16

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.17

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.18

要将 $\frac{1}{14}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.19

要将 $\frac{1}{15}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{14}{14}$ 。

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.20

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $210$ 的形式。

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解题步骤 8.4.20.1

将 $\frac{1}{14}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{15}{14 \cdot 15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.20.2

将 $14$ 乘以 $15$ 。

$\frac{15}{210} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.20.3

将 $\frac{1}{15}$ 乘以 $\frac{14}{14}$ 。

$\frac{15}{210} + \frac{14}{15 \cdot 14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.20.4

将 $15$ 乘以 $14$ 。

$\frac{15}{210} + \frac{14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.21

在公分母上合并分子。

$\frac{15 + 14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.22

将 $15$ 和 $14$ 相加。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.23

一的任意次幂都为一。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.24

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 8.4.25

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 8.4.26

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 8.4.27

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 8.4.28

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 8.4.29

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.4.30

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{29}{210} + \frac{1}{4}$

解题步骤 8.4.31

要将 $\frac{29}{210}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 8.4.32

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{105}{105}$ 。

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

解题步骤 8.4.33

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $420$ 的形式。

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解题步骤 8.4.33.1

将 $\frac{29}{210}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{29 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

解题步骤 8.4.33.2

将 $210$ 乘以 $2$ 。

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

解题步骤 8.4.33.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{105}{105}$ 。

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{4 \cdot 105}$

解题步骤 8.4.33.4

将 $4$ 乘以 $105$ 。

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{420}$

解题步骤 8.4.34

在公分母上合并分子。

$\frac{29 \cdot 2 + 105}{420}$

解题步骤 8.4.35

化简分子。

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解题步骤 8.4.35.1

将 $29$ 乘以 $2$ 。

$\frac{58 + 105}{420}$

解题步骤 8.4.35.2

将 $58$ 和 $105$ 相加。

$\frac{163}{420}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{163}{420}$

小数形式：

$0.38809523 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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