微积分学示例

$y'' - y = 0$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

解题步骤 2

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 3

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ 的特征方程。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 3.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 3.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

解题步骤 3.4

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

解题步骤 3.4.2

从 $- e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.4.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

解题步骤 3.5

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} - 1 = 0$

$r^{2} - 1 = 0$

解题步骤 4

求解 $r$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$r^{2} = 1$

解题步骤 4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$r = \pm 1$

解题步骤 4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = 1$

解题步骤 4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - 1$

解题步骤 4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = 1, - 1$

$r = 1, - 1$

$r = 1, - 1$

解题步骤 5

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

解题步骤 6

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

解题步骤 7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$