微积分学示例

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = x^{3} + 3 y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 3 y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{3} + 3 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 2.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ 中的每一项除以 $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ 中的每一项都除以 $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ 。

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

解题步骤 5.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

解题步骤 5.1.2.2

约去 ${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

解题步骤 5.1.2.2.2

用 $3 x^{2} + 3 y'$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3

将 $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

要将 $- 3 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ 。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.2

组合 $- 3 x^{2}$ 和 $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ 。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

解题步骤 5.3.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.4

乘以 $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.3.3.4.1

将 $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3.4.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

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