微积分学示例

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.4

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

要将 $2 y y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.3

要将 $- 4 x y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4

组合 $- 4 x y'$ 和 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.5

在公分母上合并分子。

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.6

要将 $- 4 y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.7

组合 $- 4 y$ 和 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

运用分配律。

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.6

运用分配律。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.7

运用分配律。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.1.9

运用分配律。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

解题步骤 5.2.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.2.1

在等式两边都加上 $4 y$ 。

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

解题步骤 5.2.2.2

在等式两边都加上 $4 y x^{2}$ 。

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

解题步骤 5.2.2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3

从 $- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $- 4 x y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.2

从 $- 4 x^{3} y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.3

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.4

从 $2 y x^{2} y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.5

从 $2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.6

从 $2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.7

从 $2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.4

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.4.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.5

因数。

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解题步骤 5.2.5.1

通过因式分解出最大公因数 $- 1 - x^{2}$ 来因式分解多项式。

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.5.2

去掉多余的括号。

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

解题步骤 5.2.6

将 $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ 中的每一项除以 $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 并化简。

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解题步骤 5.2.6.1

将 $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 。

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.2.2

约去 $- 1 - x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.2.3

约去 $2 x - y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.6.3.1.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.3.1.1.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.6.3.1.1.2.1

从 $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.3.1.2.1

从 $4 y x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.6.3.1.2.2.1

从 $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 5.2.6.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

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