微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = \sin (x)$ 。然后使 $d u_{1} = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

解题步骤 2

使 $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.1.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.1.5

计算指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.2

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1.1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.3.6.5

计算指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.4

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.1.5.1

对 $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.5.2

对 $\sqrt{2} \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.6.4.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.6.4.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.6.5

计算指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.8.2

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.8.3

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.9.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.1.9.2

用 $\sec^{2} (t)$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.2

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

化简。

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解题步骤 3.2.1.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2.1.2

组合 $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2.1.3

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

解题步骤 3.2.1.4

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

解题步骤 3.2.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

解题步骤 3.2.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2.2

对 $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

解题步骤 3.2.3.4

通过指数相加将 $\sec^{3} (t)$ 乘以 $\sec (t)$ 。

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解题步骤 3.2.3.4.1

移动 $\sec (t)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

解题步骤 3.2.3.4.2

将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{3} (t)$ 。

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解题步骤 3.2.3.4.2.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

解题步骤 3.2.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

解题步骤 3.2.3.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

解题步骤 3.2.3.5

将 $2$ 移到 $\sqrt{8}$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ 移到积分外。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2

将 ${\sec (t)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (t)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 7

使 $u_{2} = \tan (t)$ 。然后使 $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = \tan (t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\tan (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

解题步骤 7.1.2

$\tan (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ 。

$\sec^{2} (t)$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u_{2} = \tan (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \tan (0)$

解题步骤 7.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u_{2} = \tan (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 7.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 7.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8

乘以 $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 9.2

通过指数相加将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 ${u_{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{2}}^{4}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2

化简。

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解题步骤 14.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.4

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.5

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.6

要将 $\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 14.2.7.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.7.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.7.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.7.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.9

将 $5$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

解题步骤 14.2.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

解题步骤 14.2.13

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

解题步骤 14.2.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

解题步骤 14.2.15

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

解题步骤 14.2.16

将 $\frac{8}{15}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

解题步骤 14.2.17

将 $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ 乘以 $\frac{8}{15}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

解题步骤 14.2.18

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

解题步骤 14.2.19

将 $8$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

解题步骤 14.2.20

约去 $8$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.20.1

从 $8 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

解题步骤 14.2.20.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.20.2.1

从 $30 \sqrt{8}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

解题步骤 14.2.20.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

解题步骤 14.2.20.2.3

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 15.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 15.2

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 15.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.4

约去 $4$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.4.2.1

从 $30 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

解题步骤 15.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

解题步骤 15.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.5

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 15.5.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

解题步骤 15.5.2

重写表达式。

$\frac{2}{15}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{15}$

小数形式：

$0.1\overline{3}$

微积分学 示例

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