微积分学示例

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (5 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (5 x^{2})$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2}$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

组合 $\frac{1}{5 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.3

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.3.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.3.2

约去公因数。

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.3.3

重写表达式。

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4

化简项。

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解题步骤 1.4.4.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5 x}$ 。

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.2.1

约去公因数。

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.2.2

重写表达式。

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.6

化简项。

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解题步骤 1.4.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.6.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $x$ 。

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.6.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.6.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.8

将 $\ln (5 x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (5 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2}$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.6

组合 $10$ 和 $\frac{1}{5 x^{2}}$ 。

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.7

组合 $\frac{10}{5 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.8

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.8.2.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.8.2.2

约去公因数。

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.8.2.3

重写表达式。

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.9

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.9.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.9.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.9.2.2

约去公因数。

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.9.2.3

重写表达式。

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.10

组合 $2$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{x} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{4}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 (- x^{- 2})$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{- 2}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$

微积分学 示例

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