微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} e^{y} - y^{2} + 2 d y$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} e^{y} d y + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

解题步骤 2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 2 y]_{- 1}^{1}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $e^{y}]_{- 1}^{1}$ 和 $2 y]_{- 1}^{1}$ 。

$e^{y} + 2 y]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $e^{y} + 2 y$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简。

$e + 2 \cdot 1 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e + 2 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.3.4

一的任意次幂都为一。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.3.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

解题步骤 7.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 7.2.3.8

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2.3.9

在公分母上合并分子。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{1 + 1}{3}$

解题步骤 7.2.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{2}{3}$

解题步骤 7.2.3.11

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

解题步骤 7.2.3.12

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

解题步骤 7.2.3.13

在公分母上合并分子。

$e + \frac{2 \cdot 3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

解题步骤 7.2.3.14

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.14.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$e + \frac{6 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

解题步骤 7.2.3.14.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2)$

解题步骤 7.2.3.15

要将 $- (e^{- 1} - 2)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.16

组合 $- (e^{- 1} - 2)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e + \frac{4}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.17

在公分母上合并分子。

$e + \frac{4 - (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.18

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e + \frac{4 - 3 (e^{- 1} - 2)}{3}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e + \frac{4 - 3 (\frac{1}{e} - 2)}{3}$

解题步骤 8.1.1.2

运用分配律。

$e + \frac{4 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

解题步骤 8.1.1.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

解题步骤 8.1.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} + 6}{3}$

解题步骤 8.1.1.5

将负号移到分数的前面。

$e + \frac{4 - \frac{3}{e} + 6}{3}$

解题步骤 8.1.1.6

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$e + \frac{10 - \frac{3}{e}}{3}$

解题步骤 8.1.1.7

要将 $10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$e + \frac{\frac{10 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

解题步骤 8.1.1.8

在公分母上合并分子。

$e + \frac{\frac{10 e - 3}{e}}{3}$

解题步骤 8.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$e + \frac{10 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 8.1.3

将 $\frac{10 e - 3}{e}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e + \frac{10 e - 3}{e \cdot 3}$

解题步骤 8.1.4

将 $3$ 移到 $e$ 的左侧。

$e + \frac{10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.2

要将 $e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 e}{3 e}$ 。

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.3

组合 $e$ 和 $\frac{3 e}{3 e}$ 。

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e (3 e) + 10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.5

化简分子。

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解题步骤 8.5.1

将 $3$ 移到 $e$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot e e + 10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.5.2

乘以 $3 e e$ 。

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解题步骤 8.5.2.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (e^{1} e) + 10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.5.2.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 e^{1 + 1} + 10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 8.5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

小数形式：

$5.68373572 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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