微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{- 1}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{- 1}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 1}^{0}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.5

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.6

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$0 - \frac{3}{2} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 4.2.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.1

约去公因数。

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 4.2.8.2

重写表达式。

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.11

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3}{2}$

小数形式：

$- 1.5$

带分数形式：

$- 1 \frac{1}{2}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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