微积分学示例

$y = x^{2} e^{x}$

解题步骤 1

将 $y = x^{2} e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} e^{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序项。

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

解题步骤 2.1.4.2

将 $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

解题步骤 2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

解题步骤 2.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

解题步骤 2.2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 2.2.3.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $e^{x} (2 x)$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

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解题步骤 2.2.4.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $2 x e^{x}$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2.4.4

将 $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 3.2

从 $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x^{2} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $4 x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

解题步骤 3.2.4

从 $e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

解题步骤 3.2.5

从 $e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.5

将 $x^{2} + 4 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x^{2} + 4 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3

化简。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 2 + \sqrt{2}$

解题步骤 3.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.2.5.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 2 - \sqrt{2}$

解题步骤 3.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 + \sqrt{2}$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 2 + \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = {(- 2 + \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 ${(- 2 + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ 。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.3

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3.3

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 4 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

最终答案为 $6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$ 。

$6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.2

通过将 $- 2 + \sqrt{2}$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 中求得的点为 $(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 4.3

将 $- 2 - \sqrt{2}$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 2 - \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = {(- 2 - \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

将 ${(- 2 - \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.3

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.4

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.5

计算指数。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.3.3

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 4 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.4

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2.5

最终答案为 $6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$ 。

$6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.4

通过将 $- 2 - \sqrt{2}$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 中求得的点为 $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}), (- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3.51421356$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.51421356) = {(- 3.51421356)}^{2} e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3.51421356$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 (\frac{1}{e^{3.51421356}}) + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $12.34969696$ 和 $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ 。

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{e^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $2.71828182$ 进行 $3.51421356$ 次方运算。

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{33.58950148} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.6

用 $12.34969696$ 除以 $33.58950148$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.7

将 $4$ 乘以 $- 3.51421356$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot \frac{1}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.9

组合 $- 14.05685424$ 和 $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + \frac{- 14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.11

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.12

对 $2.71828182$ 进行 $3.51421356$ 次方运算。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{33.58950148} + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.13

用 $14.05685424$ 除以 $33.58950148$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 1 \cdot 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $0.41848951$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

解题步骤 6.2.1.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 (\frac{1}{e^{3.51421356}})$

解题步骤 6.2.1.16

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ 。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

解题步骤 6.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $0.36766538$ 中减去 $0.41848951$ 。

$f'' (- 3.51421356) = - 0.05082413 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 0.05082413$ 和 $\frac{2}{e^{3.51421356}}$ 相加。

$f'' (- 3.51421356) = 0.00871828$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $0.00871828$ 。

$0.00871828$

解题步骤 6.3

在 $- 3.51421356$ 处，二阶导数为 $0.00871828$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = 4 e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f'' (- 2) = \frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 2) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $2.71828182$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{4}{7.38905609} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.6

用 $4$ 除以 $7.38905609$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.9

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.11

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.12

对 $2.71828182$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.13

用 $8$ 除以 $7.38905609$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $1.08268226$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

解题步骤 7.2.1.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

解题步骤 7.2.1.16

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

解题步骤 7.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $0.54134113$ 中减去 $1.08268226$ 。

$f'' (- 2) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 0.54134113$ 和 $\frac{2}{e^{2}}$ 相加。

$f'' (- 2) = - 0.27067056$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 0.27067056$ 。

$- 0.27067056$

解题步骤 7.3

在 $- 2$ ，二阶导数为 $- 0.27067056$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 0.48578643$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.48578643) = {(- 0.48578643)}^{2} e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $- 0.48578643$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 (\frac{1}{e^{0.48578643}}) + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.3

组合 $0.23598846$ 和 $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ 。

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{e^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.5

对 $2.71828182$ 进行 $0.48578643$ 次方运算。

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{1.62545282} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.6

用 $0.23598846$ 除以 $1.62545282$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.7

将 $4$ 乘以 $- 0.48578643$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot \frac{1}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.9

组合 $- 1.94314575$ 和 $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + \frac{- 1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.11

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.12

对 $2.71828182$ 进行 $0.48578643$ 次方运算。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{1.62545282} + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.13

用 $1.94314575$ 除以 $1.62545282$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1 \cdot 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $1.19544887$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

解题步骤 8.2.1.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 (\frac{1}{e^{0.48578643}})$

解题步骤 8.2.1.16

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ 。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

解题步骤 8.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $0.14518321$ 中减去 $1.19544887$ 。

$f'' (- 0.48578643) = - 1.05026566 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 1.05026566$ 和 $\frac{2}{e^{0.48578643}}$ 相加。

$f'' (- 0.48578643) = 0.18016069$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $0.18016069$ 。

$0.18016069$

解题步骤 8.3

在 $- 0.48578643$ 处，二阶导数为 $0.18016069$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ .

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例