微积分学示例

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 5 x$ 。然后使 $d u_{1} = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 5 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\tan^{4} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (u_{1})$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ 重写为 $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ 。

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

解题步骤 8.2

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例