微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

解题步骤 7

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

解题步骤 12

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

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