微积分学示例

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{2}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{x^{5}}}{2}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{x}}{2}]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x^{5}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 1.1.1

因式分解出 $x^{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{x^{4} x}}{2}]$

解题步骤 1.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}{2}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{x}}{2}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2 + \frac{1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{4 + 1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}]$

解题步骤 4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

解题步骤 9.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 10

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4}$

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