微积分学示例

$2 x \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12.2

将 $\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 14

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 15

要将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 16

组合 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 17

在公分母上合并分子。

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 18.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

化简表达式。

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解题步骤 19.1

化简 ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ 。

$2 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.2

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$2 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

组合 $2$ 和 $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

约去公因数。

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

重写表达式。

$\frac{x + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2

化简分子。

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解题步骤 23.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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