微积分学示例

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

解题步骤 3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

解题步骤 4

使 $u = y + 2$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = y + 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 4.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = y + 2$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = - 1 + 2$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = y + 2$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 0 + 2$

解题步骤 4.5

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{1}{2} y^{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.3.7.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.3.7.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.8

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 7.3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 7.3.10

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

解题步骤 7.3.11

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

解题步骤 7.3.12

要将 $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.3.13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.13.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.13.3

将 $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.13.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

解题步骤 7.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

解题步骤 7.3.15

将 $2$ 移到 $2^{\frac{5}{2}} - 2$ 的左侧。

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

解题步骤 8.2

从 $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

解题步骤 8.3

从 $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

解题步骤 8.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.2

乘以 $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

提取负因数。

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.2.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.2.6

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 9.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

解题步骤 9.4

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

小数形式：

$0.71895141 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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