微积分学示例

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

解题步骤 5

使 $u = y + 5$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = y + 5$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $y + 5$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $y + 5$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 5.1.4

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = y + 5$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = - 4 + 5$

解题步骤 5.3

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = y + 5$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 0 + 5$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{2} y^{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

解题步骤 8.2

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.4

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.5

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.6

约去 $- 16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.6.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.6.2.4

用 $- 8$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.7

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 8$ 。

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.9

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.9.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.9.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.10

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $5^{\frac{3}{2}}$ 。

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.11

一的任意次幂都为一。

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 8.3.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 8.3.13

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.14

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.16

化简分子。

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解题步骤 8.3.16.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.16.2

从 $- 6$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

小数形式：

$4.78689325 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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