微积分学示例

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ 。

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

微积分学 示例

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