微积分学示例

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $(x - 3) e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

运用分配律。

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.2

从 $- 6 e^{2 x}$ 中减去 $e^{2 x}$ 。

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.4

重新排序项。

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.5

从 $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.1

从 $2 e^{2 x} x$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.5.2

从 $- 7 e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.5.3

从 $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{2 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{2 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{2 x} = 0$

解题步骤 2.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{2 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.2.3

$e^{2 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.3.3

将 $2 x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 7 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $2 x - 7 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$2 x = 7$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $2 x = 7$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

将 $2 x = 7$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{7}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{7}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{7}{2}$ 替换 $x$ 。

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.4.2

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$e^{7} \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.4

将 $2$ 移到 $e^{7}$ 的左侧。

$2 e^{7}$

解题步骤 4.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

解题步骤 4.2.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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