微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

解题步骤 1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

重写。

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

解题步骤 3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

解题步骤 3.3

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

解题步骤 3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

解题步骤 3.5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.5.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.5.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - t$

解题步骤 3.5.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

解题步骤 3.5.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

解题步骤 3.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

解题步骤 3.7.2

将 $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

解题步骤 3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

解题步骤 3.9

计算极限值。

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解题步骤 3.9.1

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1.1

计算 $e^{u}$ 在 $- t$ 处和在 $0$ 处的值。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

解题步骤 3.9.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

解题步骤 3.9.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 3.10

因为指数 $- t$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- t}$ 趋于 $0$ 。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 3.11

计算极限值。

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解题步骤 3.11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.11.2

化简答案。

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解题步骤 3.11.2.1

从 $0$ 中减去 $1 \cdot 1$ 。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.11.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.11.2.2.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.11.2.2.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.11.2.2.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.11.2.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

解题步骤 3.11.2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$

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