微积分学示例

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

解题步骤 1

此积分无法用分部积分法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u - 2) u^{4} d u$

解题步骤 3

乘以 $(u - 2) u^{4}$ 。

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

解题步骤 4

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $u$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

解题步骤 10

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$

微积分学 示例

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