微积分学示例

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

解题步骤 1.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ 。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.3

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

解题步骤 1.3.6

因为 $- \frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

解题步骤 1.3.7

化简项。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

解题步骤 1.3.7.2

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $- 8$ 。

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.3.7.3

组合 $\frac{π \cdot - 8}{4}$ 和 $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 。

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

解题步骤 1.3.7.4

将 $- 8$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

解题步骤 1.3.7.5

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.5.1

从 $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

解题步骤 1.3.7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.7.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

解题步骤 1.3.7.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.7.5.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

解题步骤 1.3.7.5.2.4

用 $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 除以 $1$ 。

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ 。

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.2

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- \frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

解题步骤 2.3.6

合并分数。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.6.2

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

解题步骤 2.3.6.3

组合 $\frac{π \cdot - 2}{4}$ 和 $π$ 。

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{- 2 π^{2}}{4}$ 和 $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

解题步骤 2.9

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

从 $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

解题步骤 2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

解题步骤 2.9.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.9.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 4

将 $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ 中的每一项除以 $- 2 π$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $- 2 π$ 。

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

约去 $0$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

解题步骤 4.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

解题步骤 4.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.3.2

用 $0$ 除以 $- π$ 。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

解题步骤 7

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9

化简方程的两边。

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解题步骤 9.1

化简左边。

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解题步骤 9.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.1.1.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} π$

解题步骤 9.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.2.1

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} π$

解题步骤 9.2.1.2.2

重写表达式。

$x = 2$

解题步骤 10

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

解题步骤 11

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

解题步骤 11.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 11.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 11.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.3

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4

化简方程的两边。

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解题步骤 11.4.1

化简左边。

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解题步骤 11.4.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ 。

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解题步骤 11.4.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.2

化简右边。

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解题步骤 11.4.2.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ 。

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解题步骤 11.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.2.1.1.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

解题步骤 11.4.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.2.1.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 11.4.2.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 11.4.2.1.2.3

重写表达式。

$x = 2 \cdot 3$

解题步骤 11.4.2.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = 6$

解题步骤 12

方程 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ 的解。

$x = 2, 6$

解题步骤 13

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.1

从 $π (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 14.1.2

约去公因数。

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解题步骤 14.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 14.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 14.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 14.2

化简分子。

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解题步骤 14.2.1

在公分母上合并分子。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

解题步骤 14.2.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

解题步骤 14.2.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

解题步骤 14.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

解题步骤 14.3

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{π^{2}}{2}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

解题步骤 16.2.1.2

约去公因数。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

解题步骤 16.2.1.3

重写表达式。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 16.2.2

在公分母上合并分子。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

解题步骤 16.2.3

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

解题步骤 16.2.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (2) = 8 \cos (0)$

解题步骤 16.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (2) = 8 \cdot 1$

解题步骤 16.2.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = 8$

解题步骤 16.2.7

最终答案为 $8$ 。

$y = 8$

解题步骤 17

计算在 $x = 6$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.1

从 $π (6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 18.1.2

约去公因数。

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解题步骤 18.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 18.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 18.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 18.2

化简分子。

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解题步骤 18.2.1

在公分母上合并分子。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

解题步骤 18.2.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

解题步骤 18.2.3

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

解题步骤 18.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

解题步骤 18.2.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

解题步骤 18.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

解题步骤 18.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

解题步骤 18.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

解题步骤 18.3

化简表达式。

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解题步骤 18.3.1

将 $- 1$ 移到 $π^{2}$ 的左侧。

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

解题步骤 18.3.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{π^{2}}{2}$

解题步骤 18.4

乘以 $- - \frac{π^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 18.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{π^{2}}{2}$

解题步骤 18.4.2

将 $\frac{π^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{2}$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 6$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 6$ 是一个极小值

解题步骤 20

求 $x = 6$ 时的 y 值。

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解题步骤 20.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2.1.1.3

约去公因数。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2.1.1.4

重写表达式。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2.1.2

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2.1.3

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 20.2.2

化简项。

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解题步骤 20.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

解题步骤 20.2.2.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 20.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.2.3.1

约去公因数。

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 20.2.2.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (6) = 8 \cos (π)$

解题步骤 20.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

解题步骤 20.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 20.2.5

乘以 $8 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 20.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (6) = 8 \cdot - 1$

解题步骤 20.2.5.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f (6) = - 8$

解题步骤 20.2.6

最终答案为 $- 8$ 。

$y = - 8$

解题步骤 21

这些是 $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ 的局部极值。

$(2, 8)$ 是一个局部最大值

$(6, - 8)$ 是一个局部最小值

解题步骤 22

微积分学 示例

微积分学示例