微积分学示例

$\int_{1}^{3} (2 x^{3} - 4 x^{- 2}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 \int_{1}^{3} x^{- 2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

解题步骤 8.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{81 - 1}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.4

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{80}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.5

约去 $80$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.1

从 $80$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.5.2.2

约去公因数。

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.5.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{20}{1}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.5.2.4

用 $20$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot 20 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.6

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$40 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.8

一的任意次幂都为一。

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1)$

解题步骤 8.3.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3})$

解题步骤 8.3.10

在公分母上合并分子。

$40 - 4 \frac{- 1 + 3}{3}$

解题步骤 8.3.11

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$40 - 4 (\frac{2}{3})$

解题步骤 8.3.12

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$40 + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

解题步骤 8.3.13

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$40 + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 8.3.14

将负号移到分数的前面。

$40 - \frac{8}{3}$

解题步骤 8.3.15

要将 $40$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$40 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 8.3.16

组合 $40$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{40 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 8.3.17

在公分母上合并分子。

$\frac{40 \cdot 3 - 8}{3}$

解题步骤 8.3.18

化简分子。

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解题步骤 8.3.18.1

将 $40$ 乘以 $3$ 。

$\frac{120 - 8}{3}$

解题步骤 8.3.18.2

从 $120$ 中减去 $8$ 。

$\frac{112}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{112}{3}$

小数形式：

$37.\overline{3}$

带分数形式：

$37 \frac{1}{3}$

解题步骤 10

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