微积分学示例

$\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$ 重写成 ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = {(3 x - 2)}^{2} - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 2.3

使用 ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 7

使用求加法法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 7.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

解题步骤 7.3

根据加法法则， ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x - 2$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 8.3

使用 $3 x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 9.7

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + 0)$

解题步骤 9.8

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.8.1

将 $6 (3 x - 2)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2))$

解题步骤 9.8.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{6}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

解题步骤 9.8.3

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

解题步骤 10

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

从 $2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})} (3 x - 2)$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

重新排序 $\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$ 的因式。

$(3 x - 2) \frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

将 ${(3 x - 2)}^{2}$ 重写为 $(3 x - 2) (3 x - 2)$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{((3 x - 2) (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 2) (3 x - 2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.2.1

运用分配律。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.2.2

运用分配律。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.2.3

运用分配律。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.2

合并 $9 x^{2} - 12 x + 4 - 4$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $9 x^{2} - 12 x$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3

将 $3 x - 2$ 乘以 $\frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(3 x - 2) \cdot 3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.4

将 $3$ 移到 $3 x - 2$ 的左侧。

$\frac{3 (3 x - 2)}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例