微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} + x$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 x^{2} + x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.2

化简。

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = 2 x^{2} + x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

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