微积分学示例

$- y + 2 x y = - 3 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x y) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- y + 2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- y' + 2 (x y' + y)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$- y' + 2 (x y') + 2 y$

解题步骤 2.4.2

去掉多余的括号。

$- y' + 2 x y' + 2 y$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$2 x y' + 2 y - y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x y' + 2 y - y' = - 3$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$2 x y' - y' = - 3 - 2 y$

解题步骤 5.2

从 $2 x y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x) - y' = - 3 - 2 y$

解题步骤 5.2.2

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x) + y' \cdot - 1 = - 3 - 2 y$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (2 x) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$

解题步骤 5.3

将 $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ 中的每一项除以 $2 x - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ 中的每一项都除以 $2 x - 1$ 。

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 - 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$y' = \frac{- 1 (3) - 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (3) - (2 y)}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $- 1 (3) - (2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 + 2 y)}{2 x - 1}$

解题步骤 5.3.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

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