微积分学示例

$y = - 7 x^{- 5} + 4 x^{2} - 19 x + 2$

解题步骤 1

根据加法法则， $- 7 x^{- 5} + 4 x^{2} - 19 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 5}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{- 5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$ 。

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$- 7 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

将 $- 5$ 乘以 $- 7$ 。

$35 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$35 x^{- 6} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$35 x^{- 6} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$35 x^{- 6} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 19 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 19 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 19 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 19 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$35 x^{- 6} + 8 x - 19 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$35 x^{- 6} + 8 x - 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.3

将 $- 19$ 乘以 $1$ 。

$35 x^{- 6} + 8 x - 19 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$35 x^{- 6} + 8 x - 19 + 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$35 \frac{1}{x^{6}} + 8 x - 19 + 0$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $35$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$\frac{35}{x^{6}} + 8 x - 19 + 0$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{35}{x^{6}} + 8 x - 19$ 和 $0$ 相加。

$\frac{35}{x^{6}} + 8 x - 19$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$8 x + \frac{35}{x^{6}} - 19$

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