微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $2$ 时，求 $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

解题步骤 1.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

解题步骤 1.4

将极限移入指数中。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

解题步骤 1.5

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

解题步骤 1.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

解题步骤 1.7

因为项 $a$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

解题步骤 1.8

计算 $3 a$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

解题步骤 1.9

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.9.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

解题步骤 1.9.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

解题步骤 1.10

化简答案。

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解题步骤 1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.10.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

解题步骤 1.10.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

解题步骤 1.10.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

解题步骤 1.10.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

解题步骤 1.10.1.5

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$4 + 2 a - 3 a$

解题步骤 1.10.2

从 $2 a$ 中减去 $3 a$ 。

$4 - a$

解题步骤 2

计算 $x^{3} + a x^{2} + 5$ 在 $2$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

解题步骤 2.2

计算。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

解题步骤 2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 + a \cdot 4 + 5$

解题步骤 2.2.1.3

将 $4$ 移到 $a$ 的左侧。

$8 + 4 a + 5$

解题步骤 2.2.2

将 $8$ 和 $5$ 相加。

$4 a + 13$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $2$ 时， $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ 的极限不等于 $x = 2$ 处的函数值，因此函数在 $x = 2$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

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