微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \cos (2 t)$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \cos (2 t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (2 t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (2 t)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \cos (2 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.3.1.3

重写表达式。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \cos (2 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 1.5.1.2

重写表达式。

$u_{upper} = \cos (π)$

解题步骤 1.5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = - \cos (0)$

解题步骤 1.5.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 3

乘以 $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ 。

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 4.2

将 $- 1 (\frac{1}{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2})$ 。

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4.4

将 $u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4.5

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

解题步骤 8

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $- \frac{1}{2} u_{2}$ 在 $- 1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 在 $- 1$ 处和在 $0$ 处的值。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3.4

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.3.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 9.3.8

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 9.3.9

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 9.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 9.3.13

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 9.3.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 9.3.14.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 9.3.14.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 9.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 1}{4}$

解题步骤 9.3.16

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{4}$

小数形式：

$0.75$

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