微积分学示例

$\int \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\int x e^{- x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

解题步骤 4.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

解题步骤 5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

解题步骤 8

将 $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ 重写为 $- x e^{- x} - e^{u} + C$ 。

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

解题步骤 9

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

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