微积分学示例

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

解题步骤 1

由于 $44$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $44$ 移到积分外。

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

解题步骤 2

使 $x = 4 \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $4 \sec^{2} (t)$ 为正数。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $4 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $16 \tan^{2} (t) + 16$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $16 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.2.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.2.3

从 $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ 中分解出因数 $16$ 。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

使用勾股恒等式。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

将 $16 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(4 \sec (t))}^{2}$ 。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $4 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ 中分解出因数 $4 \sec (t)$ 。

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4 \sec (t)$ 。

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 3.2.1.3

约去公因数。

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.4

重写表达式。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ 和 $\sec (t)$ 。

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $4 \tan (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

解题步骤 3.2.3.2

对 $4 (\tan (t))$ 运用乘积法则。

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 3.2.3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{16}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{16}$ 移到积分外。

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $44$ 。

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 5.2

约去 $44$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $44$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\sec (x)$ 重写为 $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ 。

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 6.2

使用倒数恒等式。

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 6.3.2

合并。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 6.3.3

将 $\csc (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 6.3.4

化简分母。

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解题步骤 6.3.4.1

对 $\frac{1}{\cot (t)}$ 运用乘积法则。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 6.3.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 6.3.5

组合 $\cot (t)$ 和 $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ 。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 6.3.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

乘以 $1$ 。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 6.3.6.2

从 ${\cot (t)}^{2}$ 中分解出因数 $\cot (t)$ 。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

解题步骤 6.3.6.3

约去公因数。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

解题步骤 6.3.6.4

重写表达式。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

解题步骤 6.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

解题步骤 7

因为 $- \csc (t)$ 的导数为 $\csc (t) \cot (t)$ ，所以 $\csc (t) \cot (t)$ 的积分为 $- \csc (t)$ 。

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{11}{4}$ 和 $\csc (t)$ 。

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

解题步骤 9

使用 $\arctan (\frac{x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{x}{4})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{x}{4})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{x}{4})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ 为 $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ 。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

解题步骤 10.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.3

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.7

将 $\frac{16 + x^{2}}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ 。

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解题步骤 10.1.7.1

从 $16 + x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.7.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.7.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.8

从根式下提出各项。

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{16 + x^{2}}$ 。

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

解题步骤 10.1.10

合并。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

解题步骤 10.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.11.1

约去公因数。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

解题步骤 10.1.11.2

重写表达式。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

解题步骤 10.2

组合 $11$ 和 $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ 。

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

解题步骤 10.3

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

解题步骤 10.4

合并。

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

解题步骤 10.5

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

解题步骤 10.6

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$

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