微积分学示例

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

解题步骤 1

求定义域以判断表达式是否连续。

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解题步骤 1.1

将

$\sec (\frac{π x}{4})$ 的自变量设为等于

$\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.1

等式两边同时乘以

$\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1.1

化简

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1.1

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.2.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.2.2.1.1.2

约去

$π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1.2.1

从

$π x$ 中分解出因数

$π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简

$\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

运用分配律。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.3

约去

$π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.3.1

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.3.2

重写表达式。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.4

约去

$π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.4.1

从

$π n$ 中分解出因数

$π$ 。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

解题步骤 1.2.2.2.1.4.2

约去公因数。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 1.2.2.2.1.4.3

重写表达式。

$x = 2 + 4 n$

解题步骤 1.2.3

将

$2$ 和

$4 n$ 重新排序。

$x = 4 n + 2$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值

$x$ 。

集合符号：

${x | x \neq 4 n + 2}$ ，对于任意整数

$n$

集合符号：

${x | x \neq 4 n + 2}$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以

$\sec (\frac{π x}{4})$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

微积分学 示例

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