微积分学示例

$y = \frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 + 5 x^{3}}{1 + 2 x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 + 5 x^{3}$ 且 $g (x) = 1 + 2 x$ 。

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $2 + 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

$\frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 相加。

$\frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{(1 + 2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $5$ 移到 $1 + 2 x$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5 (1 + 2 x) (3 x^{2}) - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

根据加法法则， $1 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - (2 + 5 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3}) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.14

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 (1 + 2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(15 \cdot 1 + 15 (2 x)) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 (2 + 5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{15 \cdot 1 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.1.1

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x) x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x)) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{2 + 1}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 x^{2} + 15 (2 x^{3}) - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 2 \cdot 2 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 2 (5 x^{3})}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{15 x^{2} + 30 x^{3} - 4 - 10 x^{3}}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

从 $30 x^{3}$ 中减去 $10 x^{3}$ 。

$\frac{15 x^{2} + 20 x^{3} - 4}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$\frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3} + 15 x^{2} - 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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