微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (2 x^{4} + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (2 x^{4} + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

解题步骤 4

乘以 $(2 x^{4} + 3) x^{- 2}$ 。

$\int 2 x^{4} x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\int 2 (x^{- 2} x^{4}) + 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{- 2 + 4} + 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$