微积分学示例

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ 。

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

解题步骤 1.3.2

因为 $\frac{2 π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ 。

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

解题步骤 1.3.3

合并分数。

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解题步骤 1.3.3.1

组合 $\frac{2 π}{3}$ 和 $- 10$ 。

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

解题步骤 1.3.3.3

组合 $\frac{- 20 π}{3}$ 和 $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ 。

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

解题步骤 1.3.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

解题步骤 1.3.4

根据加法法则， $x + \frac{1}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

解题步骤 1.3.6

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

解题步骤 1.3.7

化简表达式。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

解题步骤 1.3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

解题步骤 1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1

组合 $\frac{2 π}{3}$ 和 $x$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

解题步骤 1.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.3

约去公因数。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.4

重写表达式。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

解题步骤 1.4.2.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

解题步骤 1.4.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{20 π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ 和 $\frac{20 π}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.2

将 $20$ 移到 $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.4

因为 $\frac{2 π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 π x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.6

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.7

因为 $\frac{π}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{6}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

解题步骤 2.3.8

合并分数。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.3.8.2

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.8.3

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ 中的每一项除以 $20 π$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ 中的每一项都除以 $20 π$ 。

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

解题步骤 5.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

解题步骤 5.1.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

解题步骤 5.1.2.2.2

用 $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

约去 $0$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $20$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.2.1

从 $20 π$ 中分解出因数 $20$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

解题步骤 5.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

解题步骤 5.1.3.2

用 $0$ 除以 $π$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.5

等式两边同时乘以 $\frac{3}{2 π}$ 。

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 5.6

化简方程的两边。

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解题步骤 5.6.1

化简左边。

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解题步骤 5.6.1.1

化简 $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ 。

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解题步骤 5.6.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 5.6.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 5.6.1.1.2

约去 $2 π$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.1.2.1

从 $2 π x$ 中分解出因数 $2 π$ 。

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 5.6.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 5.6.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 5.6.2

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.1

化简 $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

解题步骤 5.6.2.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

解题步骤 5.6.2.1.1.3

约去公因数。

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.6.2.1.1.4

重写表达式。

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2.2

从 $- π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2.3

约去公因数。

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2.4

重写表达式。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{- 1}{2}$ 。

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.6.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 5.6.2.1.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.6.2.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

解题步骤 5.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

解题步骤 5.8.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.8.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.8.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.8.2.5.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 5.8.2.5.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.3

等式两边同时乘以 $\frac{3}{2 π}$ 。

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.4

化简方程的两边。

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解题步骤 5.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.8.4.1.1

化简 $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ 。

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解题步骤 5.8.4.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.4.1.1.2

约去 $2 π$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.1.1.2.1

从 $2 π x$ 中分解出因数 $2 π$ 。

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.4.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.8.4.2.1

化简 $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 5.8.4.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

解题步骤 5.8.4.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.1.3

重写表达式。

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.1.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.2.2

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.2.3

约去公因数。

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.2.4

重写表达式。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.8.4.2.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5}{4}$

解题步骤 5.9

方程 $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ 的解。

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

解题步骤 6

计算在 $x = - \frac{1}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{- 2}{4}$ 和 $π$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- 2 π}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.2.1.3

约去公因数。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.2.1.4

重写表达式。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.3.1.2

乘以 $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 7.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

解题步骤 7.3.3

将 $- π$ 和 $π$ 相加。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

解题步骤 7.3.4

用 $0$ 除以 $6$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

解题步骤 7.3.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

解题步骤 7.3.6

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{1}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $x = - \frac{1}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

解题步骤 9.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

解题步骤 9.2.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

解题步骤 9.2.3.3

约去公因数。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9.2.3.4

重写表达式。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

解题步骤 9.2.4

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{0}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

解题步骤 9.2.5

化简表达式。

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解题步骤 9.2.5.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

解题步骤 9.2.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

解题步骤 9.2.5.3

用 $0$ 除以 $6$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

解题步骤 9.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

解题步骤 9.2.7

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

解题步骤 9.2.8

最终答案为 $10$ 。

$y = 10$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{5}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{5 \cdot 2}{4}$ 和 $π$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 11.2.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.2.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{10 π}{4}$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $10 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.2.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.2.2.3

约去公因数。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.2.2.4

重写表达式。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3.1.2

乘以 $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 11.3.1.2.1

将 $\frac{5 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3.3

将 $5 π$ 和 $π$ 相加。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

约去公因数。

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

解题步骤 11.3.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

解题步骤 11.3.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

解题步骤 11.3.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

解题步骤 11.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

解题步骤 11.3.8

将 $- 1$ 乘以 $40$ 。

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

解题步骤 11.4

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

解题步骤 11.5

乘以 $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ 。

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解题步骤 11.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{40 π^{2}}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{40 π^{2}}{9}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{5}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = \frac{5}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{5}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

解题步骤 13.2.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

解题步骤 13.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

解题步骤 13.2.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

解题步骤 13.2.3.3

约去公因数。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

解题步骤 13.2.3.4

重写表达式。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

解题步骤 13.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

解题步骤 13.2.4.2

约去公因数。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

解题步骤 13.2.4.3

重写表达式。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 13.2.5

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

解题步骤 13.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.6.1

约去公因数。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

解题步骤 13.2.6.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

解题步骤 13.2.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

解题步骤 13.2.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.9

乘以 $10 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

解题步骤 13.2.9.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

解题步骤 13.2.10

最终答案为 $- 10$ 。

$y = - 10$

解题步骤 14

这些是 $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ 的局部极值。

$(- \frac{1}{4}, 10)$ 是一个局部最大值

$(\frac{5}{4}, - 10)$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例