微积分学示例

$f (x) = x^{5} + x^{4}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{5} + x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x^{5} + x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 。

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

从 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (5 x + 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$5 x + 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $5 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $5 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$5 x + 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $5 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$5 x = - 4$

解题步骤 5.5.2.2

将 $5 x = - 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $5 x = - 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4}{5}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x^{3} (5 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{4}{5}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - \frac{4}{5}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.2

将 $20$ 乘以 $0$ 。

$0 + 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 12 \cdot 0$

解题步骤 9.1.4

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{4}{5}) \cup (- \frac{4}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - \frac{4}{5})$ 内的任一数字（例如 $- 3$ ）代入一阶导数 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 3) = 5 \cdot 81 + 4 {(- 3)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $5$ 乘以 $81$ 。

$f' (- 3) = 405 + 4 {(- 3)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 3) = 405 + 4 \cdot - 27$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $4$ 乘以 $- 27$ 。

$f' (- 3) = 405 - 108$

解题步骤 10.2.2.2

从 $405$ 中减去 $108$ 。

$f' (- 3) = 297$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $297$ 。

$297$

解题步骤 10.3

将区间 $(- \frac{4}{5}, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.4$ ）代入一阶导数 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 0.4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.4) = 5 {(- 0.4)}^{4} + 4 {(- 0.4)}^{3}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 0.4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 0.4) = 5 \cdot 0.0256 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $5$ 乘以 $0.0256$ 。

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $- 0.4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 \cdot - 0.064$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $4$ 乘以 $- 0.064$ 。

$f' (- 0.4) = 0.128 - 0.256$

解题步骤 10.3.2.2

从 $0.128$ 中减去 $0.256$ 。

$f' (- 0.4) = - 0.128$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 0.128$ 。

$- 0.128$

解题步骤 10.4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 5 {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (2) = 5 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$f' (2) = 80 + 4 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 80 + 4 \cdot 8$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 80 + 32$

解题步骤 10.4.2.2

将 $80$ 和 $32$ 相加。

$f' (2) = 112$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $112$ 。

$112$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = - \frac{4}{5}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - \frac{4}{5}$ 是极大值。

$x = - \frac{4}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 10.7

这些是 $f (x) = x^{5} + x^{4}$ 的局部极值。

$x = - \frac{4}{5}$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = - \frac{4}{5}$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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