微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.2.6.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$- x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- x + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- \frac{3}{20}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{20} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} (5 x^{4})$

解题步骤 1.4.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 5 (\frac{3}{20}) x^{4}$

解题步骤 1.4.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{3}{20}$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4}$

解题步骤 1.4.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15}{20} x^{4}$

解题步骤 1.4.6

组合 $\frac{- 15}{20}$ 和 $x^{4}$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15 x^{4}}{20}$

解题步骤 1.4.7

约去 $- 15$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.1

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{20}$

解题步骤 1.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.7.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)}$

解题步骤 1.4.7.2.2

约去公因数。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4}$

解题步骤 1.4.7.2.3

重写表达式。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 3 x^{4}}{4}$

解题步骤 1.4.8

将负号移到分数的前面。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3 x^{4}}{4}$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 x^{4}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.5

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.6

组合 $\frac{- 12}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.7

约去 $- 12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.7.2.4

用 $- 3 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 3 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 3 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$ 。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

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