微积分学示例

$\int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

解题步骤 2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 3

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

解题步骤 4

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arcsin (\ln (x)) + C$

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