微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sec^{2} (x)$ 。

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

计算 $x \tan (x)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 3.1.2

计算 $\ln (| \sec (x) |)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

解题步骤 3.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $\tan (\frac{π}{4})$ 。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 乘以 $\tan (0)$ 。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

解题步骤 3.1.3.3

将 $\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

解题步骤 3.1.3.4

要将 $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.1.3.5

组合 $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.1.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

解题步骤 3.2.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

解题步骤 3.2.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

解题步骤 3.2.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

解题步骤 3.2.5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.6.5

计算指数。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.3.1

约去公因数。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ 约为 $1.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 3.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

解题步骤 3.3.3

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

小数形式：

$0.43882457 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例