微积分学示例

$f (x) = x^{4} + x + 2$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{4} + x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 1 + 0$

解题步骤 1.5

将 $4 x^{3} + 1$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x^{4} + x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $4 x^{3} + 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 1$ 。

$4 x^{3} + 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 x^{3} = - 1$

解题步骤 5.3

将 $4 x^{3} = - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4 x^{3} = - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5

化简 $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- \frac{1}{4}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5.2

从根式下提出各项。

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5.4

将 $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 5.5.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 5.5.6

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

解题步骤 5.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 5.5.7.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 5.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.5.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

解题步骤 5.5.7.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

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解题步骤 5.5.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.5.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.5.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.5.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.7.5.4.1

约去公因数。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.5.7.5.4.2

重写表达式。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

解题步骤 5.5.7.5.5

计算指数。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

解题步骤 5.5.8

化简分子。

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解题步骤 5.5.8.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

解题步骤 5.5.8.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

解题步骤 5.5.8.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.8.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

解题步骤 5.5.8.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 5.5.8.4

从根式下提出各项。

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

解题步骤 5.5.9

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.9.1

从 $2 \sqrt[3]{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

解题步骤 5.5.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.9.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.9.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.1.1

对 $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 9.1.2

对 $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 9.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 9.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

解题步骤 9.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

解题步骤 9.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

解题步骤 9.4.2.3

重写表达式。

$3 \sqrt[3]{4}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.1.2

对 $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 11.2.2.4.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{4}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.4.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.4.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.2.2.4.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.4.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.4.4

从根式下提出各项。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.6

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.6.1

从 $2 \sqrt[3]{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.6.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.2.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

解题步骤 11.2.3

要将 $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

解题步骤 11.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

解题步骤 11.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

解题步骤 11.2.5

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

解题步骤 11.2.6

化简每一项。

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解题步骤 11.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.6.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

解题步骤 11.2.6.1.2

从 $\sqrt[3]{2}$ 中减去 $4 \sqrt[3]{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

解题步骤 11.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

解题步骤 11.2.7

最终答案为 $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ 。

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{4} + x + 2$ 的局部极值。

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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