微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{(k^{2} + 2) x^{3} + k^{2} x - 2 k \sqrt{2} x^{3} + 2}{x^{2} - 5}$

解题步骤 1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x^{3} + 2 x^{3} + k^{2} x - 2 k \sqrt{2} x^{3} + 2}{x^{2} - 5}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{k^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $k^{2} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (k^{2} x)}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (k^{2} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.1.2.2

约去公因数。

解题步骤 3.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{k^{2} x}{1} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.1.2.4

用 $k^{2} x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + \frac{2 x}{1} + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2.4

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $k^{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{x k^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{x k^{2}}{x \cdot x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{x k^{2}}{x \cdot x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.4

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $- 2 k \sqrt{2} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{x^{2} (- 2 k \sqrt{2} x)}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.4.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{x^{2} (- 2 k \sqrt{2} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{x^{2} (- 2 k \sqrt{2} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} + \frac{- 2 k \sqrt{2} x}{1} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.4.2.4

用 $- 2 k \sqrt{2} x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k \sqrt{2} x + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2

将 $k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k \sqrt{2} x + \frac{2}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k x \sqrt{2} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + \frac{k^{2}}{x} - 2 k x \sqrt{2} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{k^{2}}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{2}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + 0}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{5}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + 0}{1 - 0}$

解题步骤 7

因为当其分母趋于一个常数时其分子无限大，所以分式 $\frac{k^{2} x + 2 x + 0 - 2 k x \sqrt{2} + 0}{1 - 0}$ 趋于无穷大。

$\infty$

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