微积分学示例

$\int x \cos (4 π x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 π x^{2}$ 。然后使 $d u = 8 \cdot x π d x$ ，以便 $\frac{1}{8 π} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 π x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 π x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 π x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 π x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 π (2 x)$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 π x$

解题步骤 1.1.5

将 $8 π$ 和 $x$ 重新排序。

$x (8 π)$

解题步骤 1.1.6

将 $x$ 和 $8$ 重新排序。

$8 \cdot x π$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \cos (u) \frac{1}{8 π} d u$

解题步骤 2

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{8 π}$ 。

$\int \frac{\cos (u)}{8 π} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{8 π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8 π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8 π} \int \cos (u) d u$

解题步骤 4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{8 π} (\sin (u) + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{8 π} \sin (u) + C$

解题步骤 6

使用 $4 π x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{8 π} \sin (4 π x^{2}) + C$

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