微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

解题步骤 1

将 $x \log (x)$ 重写为 $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\log (x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.3

因为分子是常数且当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于无穷大。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2

$\log (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

解题步骤 2.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

解题步骤 2.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $x \ln (10)$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

解题步骤 3.2

因为项 $\frac{1}{\ln (10)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

解题步骤 5

乘以 $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{\ln (10)}$ 。

$0$

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