微积分学示例

$e^{x} (1 + e^{- x})$

解题步骤 1

将 $e^{x} (1 + e^{- x})$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int e^{x} (1 + e^{- x}) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

解题步骤 4.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{x} + e^{x - x} d x$

解题步骤 4.3.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\int e^{x} + e^{0} d x$

$\int e^{x} + e^{0} d x$

解题步骤 4.4

化简 $e^{0}$ 。

$\int e^{x} + 1 d x$

$\int e^{x} + 1 d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} + C + \int d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$e^{x} + C + x + C$

解题步骤 8

化简。

$e^{x} + x + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $e^{x} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$