微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.2.2

将极限移入对数中。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.2.4

化简项。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.4.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.3.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.3.1.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.3.1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.3.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (- x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.4

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.4.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $- 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.10

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.12

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

解题步骤 3.13

根据加法法则， $e^{3 x + 3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14

计算 $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ 。

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解题步骤 3.14.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x + 3$ 。

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解题步骤 3.14.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.1.3

使用 $3 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.2

根据加法法则， $3 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.7

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14.8

将 $3$ 移到 $e^{3 x + 3}$ 的左侧。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

解题步骤 3.16

将 $3 e^{3 x + 3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

解题步骤 5

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

解题步骤 10

将极限移入指数中。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

解题步骤 12

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

解题步骤 13

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

解题步骤 14

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

解题步骤 14.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

合并。

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

解题步骤 15.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

解题步骤 15.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

解题步骤 15.3

化简分母。

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解题步骤 15.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

解题步骤 15.3.2

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

解题步骤 15.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 15.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3}$

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