微积分学示例

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $- x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.3

从 $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 3.3.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 3.3.4

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 4.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 4.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

提取负因数。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

解题步骤 4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.1

约去公因数。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.8.2

重写表达式。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

解题步骤 4.9

化简。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

解题步骤 4.10

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $- x$ 重新排序。

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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