微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1 - \sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \sec (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $\cos (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $- \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x)}$

解题步骤 1.4

将两个负数相除得到一个正数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.5.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $\tan (0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.5.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 2.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.4

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.7

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.10

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.11

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.4

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.5

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.6

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.7

使用极限幂法则把 $\sec^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.8

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.9

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 1^{3}}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{0 + 1}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.7

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 5.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$1$

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