微积分学示例

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u = x - x^{2}$ 。然后使 $d u = (1 - 2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = x - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $x - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 x$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$- 2 x + 1$

解题步骤 1.1.5

重新整理项。

$1 - 2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = 2 - 4$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

解题步骤 3

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $- 2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

解题步骤 3.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 3.2.5

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

解题步骤 3.2.6

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$4 + 0$

解题步骤 3.2.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例