微积分学示例

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 4 y^{2} - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $8 y y'$ 。

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.3

从 $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $6 y^{2} y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.3.2

从 $2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.3.3

从 $8 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.3.4

从 $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.3.5

从 $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4

因数。

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解题步骤 5.4.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.4.1.1

重新排序项。

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.2.2

把 $4$ 重写为 $1$ 加 $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.2.3

运用分配律。

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.4.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.1.4

通过因式分解出最大公因数 $3 y + 1$ 来因式分解多项式。

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.4.2

去掉多余的括号。

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5.5

将 $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ 中的每一项除以 $2 (3 y + 1) (y + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ 中的每一项都除以 $2 (3 y + 1) (y + 1)$ 。

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $3 y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.3

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

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