微积分学示例

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (1 - \sin (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = 1 - \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - \sin (x)$ 。

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

解题步骤 2.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $1 - \sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $1 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 相加。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

解题步骤 5.2

将 $\csc (1 - \sin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

解题步骤 5.3

对 $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

解题步骤 5.4

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

解题步骤 5.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ 。

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

解题步骤 5.6

组合 $\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

解题步骤 5.7

将 $\cot (1 - \sin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.8

合并。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.9

通过指数相加将 $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ 乘以 $\sin (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ 乘以 $\sin (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 5.9.1.1

对 $\sin (1 - \sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

解题步骤 5.9.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.10

从 $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ 中分解出因数 $\sin (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.11

分离分数。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.12

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

解题步骤 5.13

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

解题步骤 5.14

化简。

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解题步骤 5.14.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

解题步骤 5.14.2

将 $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ 转换成 $\csc (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.15

从 $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ 中分解出因数 $\sin (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.16

分离分数。

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.17

将 $\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ 转换成 $\cot (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.18

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.19

将 $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ 转换成 $\csc (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.20

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

解题步骤 5.21

乘以 $2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ 。

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解题步骤 5.21.1

对 $\csc (1 - \sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 5.21.2

对 $\csc (1 - \sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 5.21.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 5.21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

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