微积分学示例

$6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 1

将 $6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$6 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 11

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 e^{x} d x$

解题步骤 12

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int e^{x} d x$

解题步骤 13

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (e^{x} + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

$\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

解题步骤 14.2

重新排序项。

$\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

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